раздел мате-.матики, посвященный исследованию методов отыскания экстремумов функционалов, зависящих от выбора одной или нескольких функций при разного рода ограничениях (фазовых, дифференциальных, интегральных И т. п.), накладываемых на эти функции. Этими рамками обозначен класс задач, наз. еще задачами классического В. и. Иногда в термин "В. и." вкладывают более широкий смысл, понимая под ним тот раздел теории экстремальных задач, где исследование экстремумов проводят "методом вариаций" (см. Вариация), т. е. методом малого возмущения аргументов и функционалов; задачи, относящиеся к В. и. в этом широком смысле, противопоставляются дискретным задачам оптимизации.
Весьма широкий круг задач классич. В. и. описывает следующая схема. Требуется минимизировать функционал
при ограничениях типа равенств:
и некоторых краевых условиях: Задачи такого типа наз. Лагранжа задачами. Кроме задач Лагранжа, рассматривают еще Майера задачи, Больца задачи и ряд других.
Наиболее элементарной среди задач класспч. В. и. является простейшая задача В. и., когда в (1) tи ходномерны, ограничения (2) отсутствуют, а граничные условия закрепленные:
К этому типу относится задача о брахистохроне или о кривой наикратчайшего спуска. С задачей о брахистохроне обычно связывают начало истории классич. В. и.
Теоретич.основы классич. В. и. были заложены Л. Эйлером (L. Euler) и Ж. Лагранжем (J. Lagrange) в 18 в. Ими же были вскрыты важнейшие связи этой дисциплины с механикой и физикой. На первом же этапе развития В. и. усилиями в основном Г. Лейбница (G. Leibniz), Я. и И. Бернуллл (Jacob et Johann Bernoulli), Л. Эйлера и Ж. Лагранжа получили решение многие конкретные задачи (о геодезических, о поверхности вращения, ряд изопериметрич. задач и т. п.).
В В. и. изучаются алгоритмич. методы отыскания экстремумов, методы получения необходимых и достаточных условий, условия, гарантирующие существование экстремума, качественные вопросы и т. п. Среди алгоритмич. методов нахождения экстремумов важнейшее место занимают прямые методы.
Прямые методы. Л. Эйлер (1768) создал метод приближенного (численного) решения задач В. и., к-рый получил назв. метода ломаных Эйлера. С этого момента начались исследования путей численного решения экстремальных задач. Метод Эйлера был первым представителем большого класса методов, наз. прямыми методами В. и. Эти методы основаны на редукции задачи отыскания экстремума функционала к задаче ма-тематич. анализа об отыскании экстремума функции многих переменных.
Метод ломаных Эйлера в применении к задаче (3) состоит в следующем. Интервал разбивается на Л' равных частей точками Значения функции в этих точках обозначены соответственно. Каждая совокупность точек определяет нек-рую ломаную. Ставится задача: среди всех возможных ломаных, соединяющих точки найти ту, к-рая доставляет функционалу (1) экстремальное значение. Значение производной на отрезке будет: . Функционал превращается в функцию конечного числа переменных : и задача (3) сводится к задаче отыскания экстремума функции . Для того чтобы ломаная Эйлера, реализующая экстремум этой функции, аппроксимировала решение задачи (3) с высокой точностью, число N должно быть, вообще говоря, достаточно велико. При этом объем вычислений для отыскания экстремума функции (3) столь велик, что проведение вычислений "вручную" весьма сложно. Поэтому долгое время прямые методы были в стороне от основных исследований но В. и.
В 20 в. интерес к прямым методам значительно возрос. Прежде всего были предложены новые способы редукции к задаче об экстремуме функции конечного числа переменных. Эти идеи могут быть пояснены на примере минимизации функционала (3) при условии
Пусть разыскивается решение задачи в форме
где - некоторая система функций, удовлетворяющих условиям . Тогда функционал становится функцией коэффициентов и задача сводится к отысканию экстремума этой функции N переменных. При нек-рых условиях, наложенных на систему функций , решение задачи стремится при к решению задачи (3) (см. Галеркина метод).
Метод вариаций. Второе направление исследований- изучение необходимых и достаточных условий, к-рым должна удовлетворять функция , реализующая
экстремум функционала . Основным методом получения необходимых условий является метод вариаций. Пусть тем или иным способом построена нек-рая функция . Как проверить, является ли эта функция решением вариационной задачи (3)? Первый вариант ответа на этот вопрос был дан Л. Эйлером (1744). В приведенной ниже формулировке ответа употребляется введенное Ж. Лагранжем (1762) понятие вариации (отсюда назв. "В. и.") функционала (см. Вариация, Вариация функционала). Для простейшей задачи В. и.:
где - произвольная гладкая функция, удовлетворяющая условиям . Условие является необходимым, для того чтобы функция реализовала экстремум функционала (3). Отсюда и из выражения для вариации следует: для того чтобы функция доставляла экстремум функционалу (3), необходимо, чтобы она удовлетворяла следующему дифференциальному уравнению 2-го порядка относительно функции :
(4)
Это уравнение наз. Эйлера уравнением, а интегральные кривые этого семейства - экстремалями рассматриваемой вариационной задачи. Функция , на к-рой достигает экстремума, необходимо должна быть решением краевой задачи для уравнения (4). Таким образом, возникает второй путь решения экстремальной задачи: надо решить краевую задачу для уравнения Эйлера (в регулярных случаях при этом получится лишь конечное число решений), л далее надо каждую из полученных экстремалей подвергнуть дополнительному исследованию, чтобы определить, имеется ли среди них кривая, дающая решения задачи. Однако указанный метод обладает тем существенным недостатком, что не имеется универсальных способов решения краевых задач для обыкновенных (нелинейных) дифференциальных уравнений.
Весьма часто встречаются вариационные задачи с подвижными концами. Напр., в простейшей задаче точки и могут перемещаться вдоль заданных .кривых. Для задач с подвижными концами из условия выводятся дополнительные условия, к-рым должны удовлетворять подвижные концы,- так наз. трансверсальности условия, к-рые в совокупности с граничными условиями приводят к замкнутой системе условий для краевой задачи.
Основные результаты, относящиеся к простейшей задаче В. и., переносятся на общий случай функционалов вида
где - вектор-функция произвольной размерности (см. [3]).
Задача Лагранжа. Л. Эйлер и Ж. Лагранж изучали и задачи на условный экстремум. Простейшим классом задач подобного рода является класс так наз. изопериметрических задач. Ж. Лаграшк выделил (в случае, когда tодномерно) класс задач (1), (2) и получил для них аналог уравнения Эйлера с привлечением так наз. множителей Лагранжа. Такой аналог получается и для самого общего случая - задачи (1), (2). Особое значение задача Лагранжа приобрела в середине 20 в. в связи с созданием оптимального управления математической теории. Далее основные результаты, касающиеся задачи Лагранжа, даются на языке этой теории, возникшем после работ Л. С. Понтрягина и его учеников.
Рассмотрим тот случай, когда в задаче (1), (2) tодномерно и система может быть частично разрешена относительно последних переменных. Тогда получается задача о минимизации функционала
при дифференциальной
связи и граничных условиях:
В (5) - (7) - вектор-функция, наз. фазовым вектором, - вектор-функция, наз. управлением,
Примером граничных условий типа (7) могут служить закрепленные условия как в задаче (3). В задачах оптимального управления помимо условий (6) и (7) накладывают еще и "неклассическне" условия, напр.
Слабый и сильный экстремумы. В В. и. обычно различают две топологии - сильную и слабую, и в соответствии с этим оперируют понятиями сильного и слабого экстремумов. Напр., в применении к задаче (3) говорят, что кривая реализует слабый минимум, если можно указать такое , что для всех непрерывно дифференцируемых функций , удовлетворяющих условиям: и
Иными словами, здесь фиксируется близость не только фазовых переменных, но и скоростей (управлений). Говорят, что функция доставляет сильный экстремум, если можно указать такое , что для всех допустимых абсолютно непрерывных функций . (для к-рых существует), удовлетворяющих условиям и
Здесь фиксируется лишь близость фазовых переменных.
Если реализует сильный экстремум, то эта функция реализует тем более и слабый экстремум, поэтому достаточные условия сильного экстремума являются достаточными условиями и слабого. С другой стороны, из отсутствия слабого экстремума следует отсутствие сильного экстремума, т. е. необходимые условия слабого экстремума являются необходимыми условиями сильного экстремума.
Необходимые и достаточные условия экстремума. Уравнение Эйлера, о к-ром рассказывалось выше, представляет собой необходимое условие слабого экстремума. В конце 50-х гг. 20 в. Л. С. Понтрягиным был выдвинут принцип максимума для задач (5) - (8), являющийся необходимым условием сильного экстремума. Принцип максимума гласит:, если пара ( х, и).доставляет сильный экстремум в задаче (5) - (8), то найдутся вектор-функция и число такие, что для функции Гамильтона выполняются следующие соотношения:
Если приложить принцип максимума Понтрягина к задаче (3), то получится, что для того чтобы кривая x(t)доставляла сильный минимум в задаче (3), необходимо, чтобы она была экстремалью (т. е. удовлетворяла уравнению Эйлера (4)) и, кроме того, чтобы выполнялось необходимое условие Вейерштрасса:
- так наз. -функция Вейерштрасса.
Помимо условий типа (4) и (10), носящих локальный характер (т. е. проверяемых в каждой точке экстремали), имеется необходимое условие глобального характера, связанное с поведением множества экстремалей, близких к заданной экстремали (см. Якобы условие). Для задачи (3) условие Якоби состоит в следующем. Для того чтобы экстремаль x(t) доставляла минимум в задаче (3), необходимо, чтобы решение уравнения ( Якоби уравнения)
с краевыми условиями не имело бы нулей в интервале . Нули решения уравнения (11) наз. точками, сопряженными с точкой . Таким образом, условие Якоби заключается в том, что интервал не должен содержать точек, сопряженных с .
Необходимые условия слабого минимума , являются точными аналогами условий минимума для функций одного переменного. Условие Якоби при выполнении Лежандра условия (усиленного) является необходимым условием неотрицательности второй вариации. Это приводит к следующему результату: для того чтобы функция x(t).реализовывала слабый минимум функционала (3), необходимо, чтобы: а) функция удовлетворяла уравнению Эйлера, б) выполнялось условие Лежандра в) интервал не содержал точек, сопряженных с точкой t0 (при условии, что выполняется усиленное условие Лежандра).
Достаточные условия слабого минимума таковы: функция x(t).должна быть экстремалью, на ней выполняется усиленное условие Лежандра и полуинтервал не содержит точек, сопряженных с точкой t0 . Для того чтобы кривая доставляла сильный минимум, достаточно, чтобы, помимо сформулированных достаточных условий слабого минимума, выполнялось Вейерштрасса условие достаточное.
Задачи оптимального управления. Одним из основных направлений развития В. и. являются неклассич. задачи В. и., подобные сформулированной выше задаче (5) - (8). Задачи, укладывающиеся в эту схему, имеют огромное прикладное значение. Пусть, напр., уравнение (6) описывает движение нек-рого динамич. объекта, напр, космич. корабля. Управление - вектор и - тяга его двигателя. Начальное положение корабля - это нек-рая орбита, конечное положение - это орбита другого радиуса. Функционал J описывает расход горючего на выполнение маневра. Тогда задачу (5) - (7) можно применительно к данной ситуации сформулировать следующим образом: определить закон изменения тяги двигателя космич. аппарата, совершающего переход с одной орбиты на другую за фиксированное время так, чтобы расход топлива был минимальным. При этом необходимо учитывать ограничения на управления: тяга двигателя не может превосходить нек-рой величины и угол поворота тяги также ограничен.
Таким образом, в данном примере получается, что компоненты вектора тяги подчинены ограничениям где и - нек-рые заданные числа.
Имеется большое число задач, к-рые сводятся к задаче Лагранжа, но при дополнительном ограничении типа (8). Такие задачи получили назв. задач оптимального управления. Для теории оптимального управления должен был быть разработан специальный аппарат. Им и явился принцип максимума Понтрягина.
Возможен и другой подход к тем же проблемам теории оптимального управления. Пусть - значение функционала (5) вдоль оптимального решения от точки до точки . Тогда для того чтобы функция и(t).была оптимальным управлением, необходимо (а в нек-рых случаях и достаточно), чтобы удовлетворялось следующее дифференциальное уравнение с частными производными
наз. уравнением Беллмана (см. Динамическое программирование). Для задач класснч. В. и. S-функция (или функция действия) должна удовлетворять уравнению Гамильтона-Якоби:
где H - Гамильтона функция. Для задачи (3) функция есть Лежандра преобразование по хинтегранта Теория Гамильтона - Якоби является мощным инструментом исследования многих важнейших задач вариационного типа, связанных с классич. механикой. Связь В. и. с задачами теории уравнений с частными производными была обнаружена уже в 19 в. П. Дирихле (P. Dirichlet) показал, что решение краевых задач для уравнения Лапласа эквивалентно решению нек-рой вариационной задачи. Пусть, напр., имеется нек-рое линейное операторное уравнение
где - нек-рая функция двух независимых переменных, обращающаяся в нуль на замкнутой кривой Г. В предположениях, естественных для нек-рого класса задач физики, задача отыскания решения уравнения (8) эквивалентна отысканию минимума функционала
где - область, ограниченная кривой Г. Уравнение (12) в этом случае является уравнением Эйлера для функционала (13).
Редукция задачи (12) к (13) возможна, напр., если А - самосопряженный и положительно определенный оператор. Связь между проблемами для уравнений с частными производными и вариационными задачами позволяет, в частности, устанавливать справедливость различных теорем существования и единственности; она сыграла важную роль в кристаллизации понятия обобщенного решения. Эта редукция очень важна и для вычислительной математики, поскольку она позволяет использовать прямые методы В. п. для решения краевых задач теории уравнений с частными производными.
Качественные методы исследования задач В. и. дают возможность ответить на вопросы о существовании решений, об их числе, о качественных особенностях экстремалей и их семейств. В 20 в. была установлена зависимость числа решений вариационных задач от свойств пространства, на к-ром определен функционал. Так, напр., если функционал J задан на всевозможных гладких кривых тора (на торе), соединяющих две фиксированные точки, или если функционал J задан на всевозможных замкнутых кривых поверхности, топологически эквивалентной тору, то в обоих случаях число критич. элементов - линий, на к-рых вариация , бесконечно. Л. А. Люстерник и Л. Г. Шнирельман (7) доказали, что на каждой поверхности, топологически эквивалентной сфере, существует по крайней мере три самопересекающиеся замкнутые геодезические различной длины; если же длины хотя бы двух из этих геодезических совпадают, то существует бесконечное множество замкнутых геодезических равной длины. Проблемы подобного рода указывают на тесную связь В. и. с качественной теорией дифференциальных уравнений и топологией. При исследовании качественных методов сыграло большую роль развитие функционального анализа. См. также Вариационное исчисление в целом.
Связь В. и. с теорией конусов. Круг вопросов, к-рыми занимается В. и., непрерывно расширяется. В частности, все большее и большее внимание уделяется Хизучению функционалов весьма общего вида, задаваемых на множествах элементов нормированных пространств. Для задач такого рода уже трудно ввести понятие вариации. Потребовалось привлечение нового аппарата исследования. Таким аппаратам оказалась теория конусов в банаховых пространствах. Напр., пусть поставлена задача о минимуме f(x), где х- элемент замкнутого множества G. Конусом наз. множество ненулевых векторов е, каждому из к-рых можно поставить в соответствие положительное число таким образом, чтобы вектор для любого . Конусом наз. множество ненулевых векторов е, каждому из к-рых можно поставить в соответствие положительное таким образом, чтобы
для любого . Для того чтобы х 0 реализовал минимум функции , необходимо, чтобы пересечение конусов и было пустым. Это условие столь же элементарно, как и условие обращения в нуль вариации, однако из него вытекают не только те результаты, к-рые можно получить классич. методами В. и.; оно позволяет подойти к проблемам гораздо более сложным, напр, к исследованию экстремальных значений недифференцируемых функционалов (см. [6]). Лит.:[1] Смирнов В. И., Курс высшей математики, 5 изд., т. 4, М., 1958; [2] Лаврентьев М. А., Люстерник Л. А., Курс вариационного исчисления, 2 изд., М.- Л., 1950; [3] Блисс Г. А., Лекции по вариационному исчислению, пер. с англ., М., 1950; [4] Михлин С. Г., Вариационные методы в математической физике, М., 1957; [5] Понтрягин Л. С. (и дрт), Математическая теория оптимальных процессов, 2 изд., М., 1969; [6J Пшеничный Б. Н., Необходимые условия экстремума, М., 1969; [7] Люстерник Л. А., Шнирельман Л. Г., Топологические методы в вариационных задачах, М., 1930. Н. Н. Моисеев.
Смотреть больше слов в «Математической энциклопедии»
История происхождения В. исчисления следующая: в конце XVII и начале XVIII ст. многие знаменитые геометры, как, напр., Ньютон, Иоанн и Яков Бернулли, Л... смотреть
математическая дисциплина, посвященная отысканию экстремальных (наибольших и наименьших) значений функционалов — переменных величин, зависящих ... смотреть
Вариационное исчисление — История происхождения В. исчисления следующая: в конце XVII и начале XVIII столетия многие знаменитые геометры, как, например, Ньютон, Иоанн и Яков Бернулли, Лейбниц, Маклорен и др., обратили внимание на особый род математических вопросов, в которых требовалось определить вид кривой линии или поверхности при условии, чтобы некоторая величина, зависящая от вида кривой или поверхности, была наибольшая или наименьшая. Впервые встречается подобный вопрос в книге Ньютона: "Philosophiae naturalis principia mathematica", а именно вопрос о форме поверхности тела вращения, испытывающего наименьшее сопротивление движению со стороны окружающей его среды. Другой вопрос того же рода — вопрос о виде <i>брахистохроны</i>, предложенный Иоанном Бернулли (брахистохроной для какой-либо силы называют кривую, по которой материальная точка, подверженная этой силе, переходит в наивозможно краткое время из одной данной точки в другую). По мере накопления подобных вопросов выяснилась необходимость изыскать общий метод для их решения. Такой метод создан Эйлером ("Меthod u s inveniendi lineas curvas maximi vel minimi proprietate gaudentes..." 1744) после 16-летних изысканий над решениями разнообразных вопросов этого рода, и усовершенствован Лагранжем (см. "Th é orie des Fonctions analytiques" и "Le çons sur le Calcul des Foncti ons"). Метод этот есть метод вариаций и назван Лагранжем вариационным исчислением (Calcul des variations). Простейшие вопросы В. исчисления заключаются в следующем: требуется найти такую функцию от <i>x</i>, которая, будучи подставлена вместо <i>у</i> в данную функцию <i>F</i> от <i>х</i>, <i> у</i>,<i> dy</i>/<i>dx</i>,<i> d</i><sup>2</sup><i>y</i>/<i>dx</i><sup>2</sup>..., дала бы интегралу наибольшую или наименьшую величину, при предположении, что <i>х</i> <sub>1</sub> и <i>x</i><sub>2</sub>, а также и соответствующие им <i>у</i> <sub>1</sub> и <i>у</i> <sub>2</sub> имеют данные постоянные значения. Например, требуется найти кратчайшую кривую на плоскости между двумя данными точками. В этом случае интеграл, который должен получить наименьшее значение, будет где <i>x</i><sub>1</sub> и <i>x</i><sub>2</sub> суть абциссы данных точек. Другой пример: требуется провести такую кривую <i>y = f</i>(<i>x</i>) между двумя точками (<i>х</i> <sub>1</sub>, <i> у</i> <sub>1</sub>)<i> </i> и (<i>x</i><sub>2</sub>,<i> y</i><sub>2</sub>) на плоскости, чтобы поверхность, образуемая этою кривою при вращении плоскости вокруг оси <i>X</i> -ов, была наименьшею. В этом случае интеграл, долженствующий получить наименьшее значение, будет: Метод решения подобных вопросов мы вкратце здесь изложим, главным образом для того, чтобы объяснить смысл слов: <i>вариация</i> и <i>вариирование</i>. Предположим, что искомая функция <i>f</i>(<i>x</i>) найдена и что проведена кривая линия <i>y = f</i>(<i>x</i>), делающая интеграл <i>S</i> наибольшим или наименьшим. В функции <i>f</i>(<i>x</i>), кроме <i>x</i> заключается один или несколько <i>параметров</i>, в качестве коэффициентов, оснований степеней, показателей и проч. Изменяя непрерывным образом величины этих параметров, мы получим другие кривые, отличающиеся видом и положением от искомой нами. При изменении параметров на бесконечно малые величины получим кривые, бесконечно близкие к рассматриваемой. Под <i>вариацией</i> от <i>у</i> подразумевается разность между ординатою бесконечно близкой кривой и ординатою рассматриваемой кривой при той же абциссе. Следовательно, вариация ординаты <i>у</i> есть приращение (положительное или отрицательное), получаемое этою ординатою при переходе от рассматриваемой кривой к кривой бесконечно близкой; это приращение обозначается через δ <i>у</i>. Выше было сказано, что бесконечно близкая кривая получается через бесконсчно малое изменение параметров. Пусть параметры <i>f</i>(<i>x</i>) суть α,<i> </i> β,<i> </i> γ; бесконечно малые приращения их означим через δα,<i> </i> δβ,<i> </i> δγ <i>.</i> Пренебрегая бесконечно малыми величинами второго и высших порядков, можем выразить δ <i>у</i> так: δ <i>y = </i>[<i>df</i>(<i>x</i>)/<i>d</i> α ] δα <i> + </i>[<i>df</i>(<i>x</i>)/<i>d</i> β ] δβ <i> + </i>[<i>df</i>(<i>x</i>)/<i>d</i> γ ] δγ <i>. </i> Следовательно, варьирование ординаты <i>у</i>, или <i>f</i>(<i>х</i>) может быть рассматриваемо как дифференцирование по параметрам кривой. При варьировании <i>f</i>(<i>х</i>) производные <i>у‘</i>,<i> y"</i> … от функции по <i>x</i> также получают бесконечно малые приращения, которые мы обозначим так: δ <i>у‘</i>,<i> </i> δ <i>y"</i>,<i>…</i> Эти вариации производных можно представить так, например, δ <i>у‘</i>: δ <i>y‘ = </i>(<i>ddy</i>/<i>d</i> α <i>dx</i>) δα <i> + </i>(<i>ddy</i>/<i>d</i> β <i>dx</i>) δβ <i> + </i>(<i>ddy</i>/<i>d</i> γ <i>dx</i>) δγ а так как изменения параметров совершенно не зависят от изменений абцисс <i>x</i>,<i> </i> то можно переменить порядок действий получения производных по <i> x</i> и по параметрам; самые приращения δα,<i> </i> δβ,<i> </i> δγ от <i>x</i> не зависят, а потому: δ <i>y‘ = d</i>/<i>dx</i>[(<i>dy</i>/<i>d</i> α) δα <i> + </i>(<i>dy</i>/<i>d</i> β) δβ <i> + </i>(<i>dy</i>/<i>d</i> γ) δγ ]<i> = d</i> δ <i>y</i>/<i>dx </i>(<i>A</i>)<i>. </i> Точно так же можно показать, что: δ <i>y" = d</i><sup>2</sup> δ <i>y</i>/<i>dx</i><sup>2<i> </i></sup>,…(<i>A</i><sub>1</sub>)<i> </i> и т. д. При варьировании <i>у</i>, функция <i>F</i>(<i>x</i>, <i>y</i>, <i> у‘</i>, <i> у"</i>,<i>... </i>)<i> </i> получает приращение, равное: Δ <i>F = F</i>(<i>x</i>,<i> y + </i> δ <i>y</i>,<i> y‘ + </i> δ <i>y‘</i>,…)<i> — F</i>(<i>x</i>,<i> y</i>,<i> y‘</i>,…)<i>. </i> Это приращение может быть представлено в виде ряда, расположенного по возрастающим степеням вариаций δ <i>y</i>,<i> </i> δ <i>y‘</i>,<i> </i> δ <i>y".</i> Вариацией первого порядка функции <i>F</i> называется та часть этого приращения, которая заключает сумму членов с первыми степенями вариаций δ <i>у</i>,<i> </i> δ <i>y‘</i>,<i> </i> δ <i>y<sup>"</sup></i> … Эта вариация первого порядка от <i>F</i> обозначается также знаком δ, так что δ <i>F = </i>(<i>dF</i>/<i>dy</i>) δ <i>y + </i>(<i>dF</i>/<i>dy‘</i>) δ <i>y‘ + </i>(<i>dF</i>/<i>dy"</i>) δ <i>y" + </i>… Удвоенную сумму тех членов приращения <i>F</i>, которые заключают вторые степени и произведения вариаций δ <i>у</i>,<i> </i> δ <i>у</i>,<i> </i> δ <i>у"</i>… по две, называют вариацией второго порядка от функции <i>F</i> и обозначают ее так: δ <sup>2</sup><i>F. </i> Если составить выражение приращения, получаемого интегралом (<i>S</i>), при варьировании ординаты <i>у</i> , то найдем, что оно равняется интегралу от Δ <i>F</i> и поэтому может быть представлено в виде суммы членов различного порядка малости. Сумма членов первого порядка малости образует вариацию первого порядка интеграла <i>S</i>: Удвоенная сумма членов второго порядка малости образует вариацию второго порядка: Составленное выражение δ <i>S</i> может быть преобразовано таким образом, что оно будет заключать только δ <i>у</i>, но не будет заключать вариаций от производных. На основании равенства (<i>А</i>),<i> </i>(<i>А</i> <sub>1</sub>) и прочих дальнейших равенств того же рода, каждая из этих вариаций равняется соответственной производной по <i>x </i> от δ <i>у</i>. Вследствие этого, помощью интегрирований по частям и приняв во внимание, что δ <i>у</i> <sub>1</sub><i> = </i> 0 и δ <i>у</i> <sub>2</sub><i> = </i> 0 (так как <i>y</i><sub>1</sub> и <i>у</i> <sub>2 </sub> имеют данные постоянные значения), получим: где (<i>F</i>)<i> = dF</i>/<i>dy — d</i>/<i>dx</i>(<i>dF</i>/<i>dy‘</i>)<i> + d</i><sup>2</sup>/<i>dx</i><sup>2</sup>(<i>dF</i>/<i>dy"</i>) Для того, чтобы интеграл <i>S</i> был наибольшим или наименьшим, необходимо, чтобы δ <i>S</i> была равна нулю, какою бы функцией от <i>x</i> ни была δ <i>у</i>; а это вследствие разнообразия и произвольности вариаций δ <i>у</i> возможно только тогда, когда (<i>F</i>) <i>= </i>0<i>.</i> Этому-то дифференциальному уравнению и должна удовлетворять функция <i>у</i> = <i>f</i>(<i>x</i>), делающая <i>S</i> наибольшим или наименьшим. Так, например, функция, делающая интеграл (1) наибольшим или наименьшим, должна удовлетворять дифференциальному уравнению: из которого следует, что <i>у‘</i> = <i>С</i> и <i>у</i> = <i>Сх + С</i> <sub>1</sub>,<i> </i> где <i>С</i> и <i>C</i><sub>1</sub> — постоянные. Как и следовало ожидать, искомая линия — прямая. Кривая, делающая интеграл (2) наибольшим или наименьшим, окажется цепною линией. С надлежащими изменениями и дополнениями метод этот применяется и к тем случаям, когда не задаются точки, между которыми должна быть проведена кривая, а также и к тем случаям, когда ищется кривая, делающая интеграл <i>S</i> наибольшим или наименьшим, и вместе с тем делающая другой интеграл равным данной величине; последние вопросы принадлежат к роду вопросов об относительных maxima и minima. Затем этот метод распространяется и на вопросы более высшего рода, в которых требуется определение вида поверхностей, делающих наибольшим или наименьшим двойной интеграл данного вида и далее. В числе геометров, усовершенствовавших метод варьирования в применении к нахождению maxima и minima кратных интегралов, были: Гаусс ("Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu aequilibrii", "Gesammelte Werke" Bd. V); Пуассон (в "M émoires de l‘Acadé mie des Sciences", vol. 12, 1833) — в применении к двойным интегралам; Остроградский ("M é moire sur le calcul des variations des integrales multiples", в "Mem. de l‘Acad. des Sciences de S-P é tersb." 1838; "Crelle‘s Journal", vol. XV), давший изящное выражение вариации многократного интеграла; Якоби ("Zur Theorie der Variations-rechnung und der Differentialgleichungen", в "Gesam. Werke", т. IV), положивший основание метода определения знака вариации второго порядка однократного интеграла. Достаточно полным руководством вариационного исчисления может служить: "Calcul des Variations р. Moigno et Lindel ö f" (1861, четвертый том "Le ç ons de Calcul differentiel et integral p. Moigno"). История вариац. исчисления, начиная с Лагранжа и до 1860 г., изложена в книге Todhunter: "A History of the Progress of the Calculus of Variations during the nineteenth Century", 1861. О применении В. исчисления к механике см. статьи: Дифференциальные уравнения движения, Действие (начало наименьшего действия), Начало Гамильтона. <i> Д. Бобылев. </i><br><br><br>... смотреть
численные методы - раздел вычислительной математики, посвященный методам отыскания экстремальных значений функционалов. Численные методы В. и. приня... смотреть
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕраздел математики, занимающийся решением задач, связанных с отысканием экстремальных значений; одной из таких задач является нахождение кривой, обращающей некоторую величину в минимум (или в максимум). И.Ньютон решил задачу такого типа, найдя форму поверхности вращения, при которой тело, двигаясь в сплошной среде, испытывает наименьшее сопротивление. Свои результаты Ньютон изложил в Математических началах натуральной философии (1687). В 1696 И.Бернулли сформулировал задачу о брахистохроне, или кривой наискорейшего спуска: найти траекторию, соединяющую две точки в вертикальной плоскости, двигаясь по которой материальная частица под действием только силы тяжести переместится из одной точки в другую за кратчайшее время. Различными методами и независимо друг от друга И.Бернулли и его брат Якоб доказали, что такой кривой является циклоида. Общая задача вариационного исчисления состоит в том, чтобы среди всех непрерывных дуг y = y(x), соединяющих две точки P1(x1, y1) и P2(x2, y2) плоскости и имеющих непрерывно поворачивающиеся касательные, найти такую дугу, для которой не обращающийся в бесконечность интегралпринимал экстремальное значение. В 1744 Л.Эйлер опубликовал теорему, ставшую основой всего вариационного исчисления: всякая функция y, обращающая в минимум или максимум интеграл J, должна удовлетворять дифференциальному уравнениюДругие необходимые условия были открыты А.Лежандром в 1786, К.Якоби в 1837 и К.Вейерштрассом. В 1879 Вейерштрасс доказал ряд достаточных условий, позволяющих установить, доставляет ли та или иная дуга экстремальное значение интегралу J.Наглядным примером применения общей теории вариационного исчисления на плоскости служит задача о нахождении поверхности вращения с минимальной площадью, которая была изучена одной из первых. Любая дуга y = y(x), соединяющая две точки P1 и P2 на плоскости xy, порождает поверхность вращения вокруг оси x, площадь которой равнаМинимизирующая дуга должна принадлежать двупараметрическому семейству цепных линийкоторое является общим решением уравнения Эйлера. Существование минимума проверяется с помощью теоремы Вейерштрасса о достаточном условии. Такую минимальную поверхность можно наглядно продемонстрировать посредством соответствующих физических приспособлений. Изготовим проволочную рамку, в которой осью x служит проволока, соединяющая центры двух колец с радиусами y1 и y2; каждое кольцо расположено в плоскости, перпендикулярной оси x. Если такую рамку опустить в мыльный раствор и затем вынуть, то оставшаяся на ней мыльная пленка примет форму минимальной поверхности, порожденной цепной линией (кольца должны находиться на небольшом расстоянии друг от друга).Рассматривались различные модификации этой простейшей задачи на плоскости. Концы дуги, один или оба, могут быть подвижными, как в задаче о нахождении кратчайшего расстояния между двумя кривыми на плоскости. Подробно изучалась задача о нахождении дуги y = y(x), для которой интеграл J принимает экстремальное значение, в то время как другой интегралостается постоянным. К задачам этого типа относится задача о нахождении плоской кривой заданной длины, ограничивающей наибольшую площадь. Такой кривой является окружность, но строгое доказательство этого утверждения непросто.В 1806 Ж.Лагранж обобщил полученные ранее результаты на случай (n + 1)-мерного пространства. Он сформулировал задачу следующим образом: среди непрерывных и имеющих непрерывные первые производные дуг yi = yi(x), i = 1, ..., n, соединяющих две точки P1(x1, y1(x1), ..., yn(x1)) и P2(x2, y1(x2), ..., yn(x2)) и удовлетворяющих множеству независимых уравнений ???(x, y1, ..., yn) = 0, ? = 1, ..., m < n, найти такую, для которой не обращающийся в бесконечность интегралпринимает экстремальное значение. Эта задача имеет многочисленные приложения в физике и механике. Современные математики рассмотрели и другие обобщения общей задачи вариационного исчисления и посвятили им множество работ.... смотреть
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕматематическая наука, имеющая целью исследование изменений, происходящих в функции, если переменные, входящие в состав её, получ... смотреть
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, раздел математики, посвященный нахождению наибольших и наименьших значений переменных величин, зависящих от выбора одной или нескольких функций (такие величины называются функционалами). К числу задач вариационного исчисления относятся, напр., изопериметрические задачи.<br><br><br>... смотреть
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ - раздел математики, посвященный нахождению наибольших и наименьших значений переменных величин, зависящих от выбора одной или нескольких функций (такие величины называются функционалами). К числу задач вариационного исчисления относятся, напр., изопериметрические задачи.<br>... смотреть
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ , раздел математики, посвященный нахождению наибольших и наименьших значений переменных величин, зависящих от выбора одной или нескольких функций (такие величины называются функционалами). К числу задач вариационного исчисления относятся, напр., изопериметрические задачи.... смотреть
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, раздел математики, посвященный нахождению наибольших и наименьших значений переменных величин, зависящих от выбора одной или нескольких функций (такие величины называются функционалами). К числу задач вариационного исчисления относятся, напр., изопериметрические задачи.... смотреть
(от лат. variatio - изменение) - раздел математики, посвящённый нахождению наибольших и наименьших значений функционале в перем. величин, зависящих от ... смотреть
- раздел математики, посвященный нахождениюнаибольших и наименьших значений переменных величин, зависящих от выбораодной или нескольких функций (такие величины называются функционалами). Кчислу задач вариационного исчисления относятся, напр., изопериметрическиезадачи.... смотреть
раздел мате матики, посв. нахождению наиб. и наим. значений перем. величин, зависящих от выбора одной или неск. функций (такие величины наз. функционал... смотреть
variational calculation, calculus of variations* * *variational calculus
<math.> calculus of variations
calcolo delle variazioni
calculus of variations
calcul des variations
Variationsrechnung
calculus of variations
варіаційне обчислення.
варыяцыйнае злічэнне
вариациялық есептеу
Variationsrechnung
• variační počet
раздел математики, в к-ром применяются топологич. понятия н методы для качественного исследования вариационных задач - существование и оценка чи... смотреть